Сложение и вычитание, конечно, более простая операция, чем умножение и реже сопровождается ошибками, но даже при этом можно облегчить себе жизнь. А еще и научиться делать это устно.
Удивительная вещь заключается в том, что числа мы произносим слева направо – 1234 – одна тысяча двести тридцать четыре, а когда их складываем в столбик, то делаем это справа налево. Странно то, что складываем мы не десятки, сотни и так далее, а значащие цифра при десятках, сотнях. Поэтому результат сложения и вычитания будет тот же, что справа налево, что слева направо. При сложении справа налево приходится что-то держать в уме. Например, 8 + 9 = 17, семь пишем, один в уме. После этого ребенок посмотрел в окно, поковырялся в носу и забыл, что в уме.
Попробуем складывать числа в столбик слева направо. Например,
1234
+ 5432
——
6666
Начиная складывать с 1 + 5, затем 2 + 4, 3 + 3 и 4 + 2, мы получим тот же результат, если бы делали это справа налево.
Возьмем пример сложнее:
1234
+ 5678
——-
6802
91
Ответ: 6912
Начинаем с 1 + 5 = 6, далее 2 + 6 = 8 и вот теперь 3 + 7 = 10, пишем ноль, а единицу сразу прибавляем к предыдущему результату – к восьми, 8 + 1 = 9, напишем под восьмеркой. Складываем 4 + 8 = 12, пишем 2, а единицу прибавляем к нолю и напишем ниже ноля. В итоге получится ответ: 6912, и ничего в уме, надо сразу прибавить к числу слева.
Еще пример:
12345
+ 6789
——–
18024
913
Ответ: 19134
Казалось бы, что таким способом складывать длиннее, но при этом ничего не надо помнить в уме, так как мы сразу вынуждены прибавить единицу к предыдущему результату. Кроме того, никто не запрещает выполнить действия в черновике, что не мешало бы делать и при сложении справа налево.
Но способ слева направо наводит на мысль, что это проще делать устно, чем писать. Действительно, будем произносить ответ вслух слева направо, как это принято. К единице ничего не прибавляется, так как видим, что в следующем разряде стоит 2 + 6 = 8, поэтому произносим – один, далее 2 + 6 = 8 мы уже сложили, но в следующем разряде 3 + 7 = 10, поэтому произносим не восемь, а девять, далее ноль мы уже получили, но следующий разряд дает 4 + 8 = 12, поэтому вместо ноля произносим один и так далее. Ответ, конечно, надо записать, но он пишется сразу после произнесения слева направо.
Кстати, деление в столбик или правильнее уголком, производится слева направо, потому что это естественней и теперь не нужен и черновик.
Есть и другие возможности складывать числа не в столбик, а устно, но для этого необходимо познакомиться с другими законами арифметики. Их в школе изучают, но применяют на практике редко. Школьники знают эти законы, но как бы сами по себе, почти в полном отрыве от практики счета. Речь идет о действиях со скобками
a + (b + c) = (a+ b) + c = a + b + c – законы ассоциативности
a × (b × c) = (a × b) × c = a × b × c
a × (b +c) = a × b + a × c – закон дистрибутивности
Трудно переоценить помощь скобок и этих законов в вычислениях. Начнем с легких примеров, но и самых распространенных – сложение двухзначных чисел. Чаще всего встречаются именно такие вычисления, и их нужно научиться делать моментально. Главный принцип – умение упростить задачу.
Пусть требуется сложить 37 + 62. Преобразуем 62 в 60 + 2. Тогда сложение преобразуется в 37 + (60 + 2) = 37 +60 + 2 = 99.
Опять-таки складываем слева направо. Понятно, что 37 и 60 сложить легко, а потом добавить два становится элементарной задачей. Схема очевидна – разбиение числа на более простые.
57 + 38 = 57 + 30 + 8 = 87 + 8 = 95
Или это же можно проделать по-другому.
57 + 38 = 57 + 40 – 2 = 95
Если цифра единиц ближе к десяти, то лучше увеличить число до полного десятка в сторону увеличения, в противном случае – уменьшение.
Последнее
87 + 65 = 90 + 65 – 3 = 155 – 3 = 152
Перейдем к сложению трехзначных чисел. Например
348 + 236 = 348 + 200 + 30 + 6 = 584
Проделать это легко, потому что, складывая слева направо мы прибавляем не 200 и не 30, а 2 и 3 к соответствующим разрядам 3 + 2 = 5 и 4 + 3 = 7, ну, а добавить потом 6 элементарно, и трехзначное число ни при чем.
Казалось бы, более сложный пример:
867 + 389 = 867 + 300 + 80 + 9 = 1256
Но даже это можно упростить. Уменьшим вычисление на одно действие – не будем прибавлять 300 и 80, а прибавим сразу 400 и вычтем одиннадцать.
867 + 389 = 867 + 400 – 11 = 1256
Большинство считает, что сложение проще вычитания. Но, если перейти к вычитанию слева направо, то процедура ничем не отличается от сложения. 78 – 23 от семи отнимаем 2 и от 8 отнимаем 3, итого 78 – 23 = 55. Другой пример
78 – 39 = 78 – 40 + 1 = 39
Тоже самое и для трехзначных чисел:
654 – 378 = 654 – 300 – 70 – 8 = 354 – 70 – 8 = 284 – 8 = 276
или
654 – 378 = 654 – 400 + 22 = 254 + 22 = 276
Из этих примеров видно, что всегда есть выбор для упрощения, другое дело, что чтобы сделать этот выбор необходима практика. Складывая или вычитая десяток любых чисел каждый день, через месяц вы увидите, что числа ожили и вам уже скучно упражняться, ответ всплывает почти что сразу.