Деление – чрезвычайно полезный навык в повседневной жизни и для бизнеса. Мы неоднократно сталкиваемся с ситуациями, которые требуют от нас что-то равномерно распределить. Как правило, наибольшие трудности из всех стандартных операций вызывает именно деление. Кстати, деление в школьной программе – единственная операция, осуществляемая слева направо. Так что, разбирая методы устного деления, будем заниматься естественным делом.
Следует напомнить, что делимое – это число, которое делят. Делитель – число, на которое делят. В результате получается частное. Иногда при делении делимого на делитель не получается целое частное, тогда говорят о делении с остатком.
Еще одна особенность деления заключается в том, что для него не существует такого множества методов, облегчающих вычисления, как для умножения. Поэтому стандартом является деление в столбик или правильнее уголком . Тем не менее, далее будут описаны некоторые приемы, помогающие разделить одно число на другое.
Как в умножении, методы базировались на беглом умении умножать на однозначное число, так и при делении, главным будет умение умножать на однозначное число (что вы уже умеете), так и деление на него.
Первым делом, еще до деления, необходимо удостовериться, а вдруг и делимое и делитель имеют общие множители. Так, например, если они оба четные, то разделив каждое из них на два, можно вдвое упростить вычисления.
Пусть требуется 294 разделить на 14. Предварительно разделив 294 и 14 на 2, получим, что требуется разделить 147 на 7, что значительно проще. Более того, теперь сразу видно, что результат деления – 21.
Таким образом, первое, что нужно сделать – это определить, имеют ли делимое и делитель общие множители. Это поможет упростить задачу на деление и, кстати, помогает при умножении чисел. Для этого необходимо знать признаки делимости чисел, возможно, чуть шире, чем это дается в школе.
Проверить, делится ли число на 2, довольно просто. Нужно только определить, является ли последняя цифра числа четной или нулем. Если это 2,4,6,8 или 0, то число нацело делится на два.
Признак делимости числа на 4 тоже прост. Если число, составленное из двух последних данного цифр числа, делится на 4, то и само число делится на 4.
Например, 82356 делится на 4, потому что число 56 делится на 4. А вот 3827 не делится на 4, потому что 27 не делится на 4. Но, даже если вы не заметите, что число делится на 4, то, разделив его на 2, вы получите в ответе четное число, и, значит, возможно деление на 2 еще раз.
Почти тоже самое касается делимости числа на 8. Признак делимости числа на 8 прост. Если число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 8, то и само число делится на 8. Но, опять-таки, если вы не заметили делимость числа на 4 или на 8, то, разделив дважды, вы будете в результате получать четное число. Поэтому, в конце концов, поделите на 8, хотя это и несколько длиннее.
Для делимости числа на 3 есть простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр (вне зависимости от их количества) делится на 3.
Например, делится ли число 87522 на 3. Складываем цифры, составляющие это число: 8+7+5+2+2=24. А так как 24 делится на 3, то и число 87522 делится на 3.
Столь же удивительное правило верно и для делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр, составляющих это число, делится на 9.
Признак делимости на 6 базируется на делимости числа на 2 и 3. Действительно, если число четное, и сумма цифр, его составляющих делится на 3, то само число делится на 6.
Все эти признаки делимости даются в школе, и поэтому более или менее знакомы. Но для облегчения вычислений полезно знать еще некоторые.
Например, несложный признак делимости на 11. Если разность между суммой цифр числа на нечетных местах и суммой цифр на четных местах делится на 11 или 0, то и само число делится на 11.
Например, определим, делится ли 819291 на 11. Находим сумму цифр, стоящих на нечетных местах.
8 + 9 + 9 = 26
Находим сумму цифр, стоящих на четных местах.
1 + 2 + 1 = 4
Разность между ними 26 – 4 = 22 делится на 11, значит и 819291 делится на 11.
Если заранее удастся разделить делимое и делитель на 11, то далее производить деление будет легче, так как они станут более чем в десять раз меньше.
Признак делимости числа на 7 чуть более сложен. Если разность – это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра делится на 7, то и само число делится на 7.
Схематично это выглядит так. Пусть число abc, где a, b, c цифры числа, то есть a – число сотен, b – число десятков, c – число единиц. Тогда abc делится на 7, если ab – 2c делится на 7. Или возьмем шестизначное число abcdef, тогда необходимо проверить делится ли на 7 число abcde – 2e. Конечно, это не очень удобно, потому что мы при этом получим пятизначное число, которое тоже необходимо проверять на делимость 7. Но для него эту процедуру можно повторить. Рассмотрим несколько примеров.
Пусть необходимо проверить делимость 8638 на 7. Здесь a = 8; b = 6; c = 3; d = 8.
Составляем разность abc – 2d = 863 – 16 = 847. Можно было бы повторить эту процедуру, но и так видно, что 847 делится на 7.
Более сложный пример. Требуется проверить делимость 86415 на 7. Здесь a = 8; b = 6; c = 4; d = 1; e = 5. Составляем разность abcde – 2e = 8641 – 10 = 8631. Продолжаем составление разностей:
863 – 2 = 861
86 – 2 = 84
Очевидно, 84 делится на 7, значит, и число 86415 делится на 7.
В данном случае пришлось сделать три легкие операции, чтобы удостовериться в делимости на 7 числа.
Признак делимости на 13 немного похож предыдущий. Если число десятков числа, сложенное с умноженными на 4 единицами, будет делится на 13, то и само число делится на 13. Например, проверим этот признак на числе 702. Число десятков равно 70, а учетверенное число единиц 2 × 4 = 8. Складывая два числа 70 + 8 = 78, видим, что оно делится на 13, значит, и 702 делится на 13.
Проверим этот признак на пятизначном числе. Возьмем число 16042. Число десятков равно 1604, прибавляем к нему 2 × 4 = 8. Получаем 1604 + 8 = 1612. Повторяем туже процедуру : 161 + 8 = 169. Полученный результат делится на 13, так как = 169.
Из этих примеров видно, что, чем больше числа, тем сложнее их проверка на делимость. Однако, и для 7 и для 13 есть еще один признак, как раз удобный для больших чисел. Поясним его на конкретном примере. Проверим делится ли 1604928 на 13.
Разбиваем число 1604928 на группы по три числа:
001 604 928,
+ – +
слева от 1 дописаны два нуля для наглядности. Крайняя справа группа 928 берется со знаком +. Далее налево знаки чередуются, и эти группы чисел необходимо сложить
1 – 604 + 928 = 325
Полученное число 325 необходимо дальше проверять на делимость на 13. По крайней мере, теперь проверяем трехзначное число вместо семизначного. Далее используем предыдущий признак делимости на 13.
32 + 4 × 5 = 52, что делится на 13.
Проверим этим же методом, ранее полученный результат. Применим его к числу 16042, которое, как мы уже знаем, делится на 13.
16042 = 016 042;
– +
042 – 016 = 26, что делится на 13.
Попробуем теперь этот способ для делимости на 7. Опять-таки возьмем число, для которого мы знаем ответ.
86415 = 086 415
– +
415-86 = 329,
А для числа 329 применим предыдущий метод
32 – 2 × 9 = 32 – 18 = 14
Делится на 7.
Напоследок проверим еще одно число на делимость на 7.
864192 = 864 192
– +
192 – 864 = – 672
Знак – отбрасываем, как не влияющий на делимость. Еще раз пользуемся предыдущим признаком делимости на 7.
67 – 2 × 2 = 67 – 4 = 63,
Что кратно 7.
Для тех, кому не нравятся признаки делимости или с ними возникают проблемы, можно порекомендовать следующее. Если число делится, скажем, на 7, то и число уменьшенное или увеличенное на число кратное 7, будет делиться на 7.
Желательно подобрать кратное число так, чтобы после вычитания или сложения, получалось число, оканчивающееся на ноль.
Например, для проверки числа 5376 на делимость на 7, вычтем из него 56, кратное 7. Получим 5376 – 56 = 5320, отбрасываем 0, как не влияющий на делимость. Получили для проверки число 532, вычтем из него 42, кратное 7. Получим 532 – 42 = 490. Дальше можно не продолжать, так как 490 кратно 7.
А можно поступить более кардинально. Вычтем из 5376 кратно 7 число 5600. Получим 5376 – 5600 = – 224, что нетрудно видеть, делится на 7 (знак – роли не играет).
Аналогично можно поступить и для проверки делимости на 13. Проверим, делится ли 4628 на 13. Вычтем из данного числа 3900, очевидно, кратное 13. Получим 4628 – 3900 = 728, а теперь прибавим к нему кратное 13 число 52. 728 + 52 = 780 = 60 × 13. Значит, 4628 делится на 13.
Этот метод работает не только для 7 и 13, но и для любого нечетного числа, кроме оканчивающегося на 5.
Переходим к методам устного деления, для начала на однозначное число. Особняком стоит деление на 5, на которое, собственно, делить не надо. Достаточно делимое и делитель умножить на 2, и вы перешли к делению на 10.
Точно также не имеет смысла делить на 15, так как 30 : 2 = 15. Значит, умножая делимое и делитель на 2, получаем деление на 3, что проще.
Аналогично, при делении на 25 необходимо делимое и делитель умножить на 4, что легко, чтобы перейти к делимости на 100.
При делении на однозначное число необходимо, первым делом, определить, в каком диапазоне чисел будет лежать ответ. Например, при делении 168 на 7, сразу определяем, что ответ будет между 20 × 7 = 140 и 30 × 7 = 210. Поэтому, при устном счете уже вслух можно проговорить 20. Далее вычитаем 168 – 140 = 28, и наша задача свелась к делению 28 на 7. Значит, ответ получен устно – 24.
Пусть требуется разделить 675 на 8. Сразу замечаем, что ответ лежит в диапазоне 8 × 80 = 640 и 8 × 90 = 720, причем ближе к 80. Вычитаем 675 – 640 = 35, и задача свелась к делению 35 на 8. А так как 8 × 4 = 32, то мы получаем ответ 84 и 3 в остатке.
Фактически, в обоих примерах мы сводили задачу к более простой.
Рассмотрим еще один пример. Требуется разделить 947 на 4. Понятно, что ответ будет меньше 250, но насколько? Находим разность 1000 – 947 = 53. Значит, так как = 13 + , то ответ будет 250 – 13 – = , то есть 947 деленное на 4 дает 236 и 3 в остатке.
При делении на двузначные числа используется тот же прием, что и раньше. Необходимо сообразить, в каком диапазоне лежит ответ. Это нетрудно, если уметь хорошо умножать на однозначные числа. Пусть требуется 738 разделить на 23. Сразу определяем, что ответ лежит в диапазоне 23 × 30 = 690 и 23 × 40 = 920, причем ближе к 30. Поэтому вычитаем 738 – 690 = 48. Осталось разделить 48 на 23. Значит, ответ 32 и 2 в остатке.
Пусть требуется разделить четырехзначное число на двузначное. Например, 3851 на 54. Так как 5 × 7 = 35, то сразу определяем 54 × 70 = 3780 и даже не надо зажимать сверху 54 × 80 = 4320, что далеко от делимого. Производим вычитание 3851 – 3780 = 71. Сразу получаем ответ: 71 и 17 в остатке.
Более сложный пример. 8671 : 28. Сразу замечаем 28 × 300 = 8400, и можно упростить задачу. 8671 – 8400 = 271. Видно, что 271 близко к 280, то есть ответ будет: девять с чем-то. Находим ближайшее число 28 × 9 = 252 и разность 271 – 252 = 19. Таким образом, мы нашли 8671 : 28 = 390 и 19 в остатке.
Конечно, это оказалось сложнее, но и исходная задача была сложнее.
Из вышеизложенного видно, что деление не изобилует разнообразными приемами упрощений, как это было при умножении. Тем не менее, сразу проверьте, нельзя ли сократить делимое и делитель на что-то. А дальше все зависит от умения умножать.