Дроби подразделяются на обыкновенные и десятичные. То, что касается обыкновенных дробей, то упростить вычисления не удается. Избежать приведения к общему знаменателю невозможно. Но в реальной жизни мы не так часто используем обыкновенные дроби. Действительно, трудно представить ситуацию, когда вы в магазине попросите взвесить кг картофеля, а вот 0,5 кг – вполне реально.
В обыденной жизни мы очень часто используем дроби, но десятичные, к ним же можно отнести и проценты, которые, деля на сто, переводятся в дроби.
Перемножение десятичных дробей не более сложная задача, чем перемножение любых других чисел.
Действительно, рассмотрим пример, пусть требуется перемножить 1,2 на 1,3, то есть одну целую и две десятых на одну целую и три десятых.
Умножение на 12 мы разбирали несколькими способами, и дело вкуса, какой использовать. Поэтому, не обращая внимания на запятые умножаем 12 на 13.
2 3
s 12 × 13 = 156
Осталось вспомнить, где расположить десятичную запятую, в полученном ответе. Для этого необходимо отсчитать количество цифр после запятой у каждого сомножителя.
В данном случае имеем по одной цифре после запятой у каждого сомножителя. Поскольку имеем в сумме две цифры после запятой, то и в ответе должны быть две цифры после запятой.
1,2 × 1,3 = 1,56
Если необходимо умножить дробное число на целое, поступаем аналогичным образом. Для умножения 9,4 на 97, переходим к умножению 94 на 97.
94 × 97 = 9118
-6 -3
Осталось отделить одну цифру в ответе запятой. Значит,
9,4 × 97 = 911,8 – ответ
Иногда бывает чуть более сложная ситуация в определении места запятой в ответе. Пусть требуется умножить 0,17 на 0,17. Семнадцать умножить на семнадцать – легко вычисляется: 17 × 17 = 289, например, используя базовое число 20. Но в сомножителях у нас по две цифры после запятой, итого в сумме – четыре. А в ответе всего три цифры. Значит, перед ответом надо поставить 0, перед которым и будет стоять запятая. Но перед запятой тоже должна стоять какая-то цифра. Очевидно, понадобится еще один ноль.
Ответ: 0,17 × 0,17 = 0,0289
Из разобранных примеров видно, что сложность не в том, как перемножать числа, а в аккуратном определении места запятой.
Казалось бы, что умножение дробей чуть более сложная задача, чем просто перемножение чисел, как бы не ошибиться с определением места запятой. Удивительным оказывается, что часто обратная операция, переход от целых чисел к дробям, позволяет облегчить вычисления умножения целых чисел. Особенно это касается умножения на однозначные числа, что, как мы видим, составляет основу устных умножений.
Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию умножения на однозначное число. Пусть требуется умножить 8 на 86. Ранее мы это делали, представляя 86 как 80 + 6. Попробуем поступить по-другому. Хочется использовать умножение с помощью базового числа. Но какое число выбрать в качестве базового в данном случае? С одной стороны, 8 близко к 10, но тогда 86 – слишком далеко, и поэтому 10 как базовое не упрощает задачу. С другой стороны, можно выбрать 100 как базовое, но тогда 8 – слишком далеко от 86. Можно было бы воспользоваться двумя базовыми числами: 10 и 100, но при этом появятся дополнительные операции. А давайте подумаем, чем отличается 8 от 8,0. Казалось бы, что мы ухудшим ситуацию, перейдя к дроби, но теперь можно умножить 80 на 86. Оба числа близки к 100, и поэтому выбираем его за базовое число.
80 × 86 = 6600 + 280 = 6880
-20 -14
Осталось выбросить ноль в конце ответа, который появился, когда мы 8 умножали на 10.
8 × 86 = 688
Еще один пример для иллюстрации:
9 × 67 = 9,0 × 67 =
90 × 67 = 5700 + 330 = 6030
10 33
Значит, 9 × 67 = 603
Когда мы пользовались для умножения двумя базовыми числами, основным условием было, чтобы второе базовое число было кратно первому. Но так ли важно это условие, и что будет, если его обойти? Попробуем сначала решить пример старым методом. Пусть требуется умножить 212 на 808. Очевидно, за базовые числа необходимо взять 200 и 800, что кратно 200.
| 200 × 4 |
48
12 8
212 × 808 = 171200 + 96 = 117296
Что смущает в этом решении, так это наличие 48. Хотелось бы обходиться числами, для которых хватит пальцев на руках. Попробуем взять за основное базовое число 800, тогда 200 составляет четвертую часть от 800, и у нас появляется дробь, там, где должна стоять кратность.
| 800 × |
2
8 12
808 × 212 = 171200 + 96 = 171296
Конечно, получился тот же ответ. Восемь умножить на нетрудно, в результате вместе дополнения 48, у нас появилось дополнение 2, что радует. Приведем еще один пример:
| 200 × 4 |
16
4 12
204 × 812 = 165600 + 48 = 165648
| 800 × |
3
12 4
80 812 × 204 = 165600 + 48 = 165648
Конечно, 100 является одним из самых привлекательных базовых чисел. Это является главным в выборе основного базового числа. Допустим требуется умножить 47 на 96. Пользуясь методом двух базовых чисел, стоило бы выбрать 50 за основное базовое число, а 100 – за вспомогательное, но тогда пришлось бы умножать на 50. Поэтому выберем за основное базовое число 50, хотя из-за этого и появится дробь.
| 100 × |
96 × 47 = 4500 + 12 = 4512
-4 -3
-2
До сих пор в качестве базовых чисел мы выбирали числа, оканчивающиеся на нули. Совсем не обязательно, чтобы вспомогательное число было таким.
Например, требуется умножить 96 на 23. Какие числа выбрать за базовые? Основное базовое, конечно, лучше взять 100, а вспомогательное? То ли 20, то ли 25. В качестве базового нам еще не приходилось брать 25. Попробуем, что из этого получится.
| 100 × |
96 × 23 = 2200 + 8 = 2208
-4 -2
-1
Но на этом пути возможны и осложнения.
| 100 × |
97 × 23 =
-3 -2
Вот, тут то и подстерегает нас небольшая неприятность. Необходимо из 23 вычесть
23 – = 22 = 22 +
Но это страшное 22 + необходимо умножить на 100, и тут легкий испуг проходит
100 × (22 + ) = 2200 + 25 = 2225
Можно закончить это пример
| 100 × |
97 × 23 = 2225 + 6 = 2231
-3 -2
Рассмотрим еще один пример, где выбор вспомогательного базового числа принципиален.
Умножим 508 на 125. В качестве основного базового, несомненно, надо выбрать 500, а вот, как быть со вспомогательным? Можно взять 100, но 125 находится далековато от 100, что сомнительно считать удачным. А почему бы не взять само это число за вспомогательное базовое? Тем более, что 500 : 125 = . Итак,
2
| 100 × |
8 0
508 × 125 = 127 × 500 = 63500
Напоследок, посмотрим еще один пример, чтобы вы влюбились в дроби.
Для умножения 88 на 343 выберем за базовые числа 100 и 350. Тогда
| 100 × |
88 × 343 = 30100 + 84 = 30184
-12 -7
-42
Здесь основная трудность была умножить на 12.
3 × 12 = × 12 = 42
Согласитесь, не так уж это трудно.
Рассмотрим еще один, правда, частный случай, когда дроби помогают найти квадрат числа. Ранее мы разбирали случай возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Теперь попробуем методику возведения в квадрат числа, оканчивающегося на 25. Понятно, что теперь речь пойдет о числах, по крайней мере, трехзначных.
Для этого вначале отделяем 25 запятой от исходного числа, то есть превращаем его в десятичную дробь. Далее целую часть числа возводим в квадрат и прибавляем к нему половину возводимой в квадрат целой части. К полученному числу прибавляем 0,0625 ( ), и из ответа выбрасываем запятую.
Пусть требуется возвести в квадрат 225. Переходим к дроби – . Согласно методике 2 возводим в квадрат и прибавляем единицу: 22 + 2 / 2 = 5
Прибавляем к этому ответу 0,0625:
5 + 0,0625 = 5,0625
Осталось выбросить запятую:
= 50625
Попробуем возвести в квадрат число с нечетной, отделенной запятой от 25, цифрой.
Требуется найти . Превращаем 125 в 1,25.
= 1 + 0,5 + 0,0625 = 1,5625
Отбрасываем запятую
= 15625
Еще один пример:
= ?
= 49 + 3,5 + 0,0625 = 52,5625
Итак, = 525625
На закуску проделаем что-нибудь по страшнее.
= ?
= 169 + + 0,0625 = 169 + 6,5 + 0,0625 = 175,5625
= 1755625
Думаю, это впечатляет. После такого примера, выполненного устно, перед вами будут падать ниц.
До сих пор мы использовали формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разности двух чисел и разность квадратов. Наступила очередь правила раскрытия скобок, хорошо известное из школьной программы.
(a +c)(b + d) = ab + ad + bc + cd
Формула громоздкая, и трудно представить, что ее можно для чего-то применить. Но очень уж привлекательным выглядит перед умножением превращать числа в дроби.
Поэтому представим себе, что в этой формуле
c = d = ,
тогда она превратится в следующую:
(a + )(b + ) = ab + +
В § 4 мы возводили в квадрат числа, оканчивающиеся на 5, в § 5 возводили числа, начинающиеся на 5.
Было бы удивительно, если бы не существовало возможности умножать произвольные числа, оканчивающиеся на пять, друг на друга. Для этого, как раз, и получили вышеприведенную формулу.
Пусть требуется умножить 35 на 75. Первым делом превращаем эти числа в дроби: 3,5 и 7,5.
Тогда
3,5 × 7,5 = 3 × 7 + + 0,25 = 21 + 5 + 0,25 = 26,25
Осталось выбросить запятую
35 × 75 = 2625
Еще один пример: 115 × 135
11,5 × 13,5 = 11 × 13 + + 0,25 = 143 + 12 + 0,25 = 155,25
Получаем ответ, выбросив запятую
115 × 135 = 15525
Пусть требуется умножить двузначное число на трехзначное.
65 × 155 = ?
6,5 × 15,5 = 6 × 15 + + 0,25 = 90 + 10,5 +0,25 = 100,75
Отбрасываем запятую
65 × 155 = 10075
Метод оказывается очень прост. Достаточно найти произведение чисел и их полу сумму.
В § 12 мы возводим в квадрат числа, число единиц у которых близко к десяти. Тогда использовалась формула квадрата суммы двух чисел. Сейчас воспользуемся этой же формулой, слегка видоизменив ее.
+ 0.01
+ 0.04
+ 0,01 = 36 + 1,2 + 0,01 = 37,21
+ 0,04 = 36 + 2,4 + 0,04 = 38,44
Осталось проделать уже знакомую процедуру – отбросить запятую, чтобы найти
= 3721
= 3844
Какой из методов лучше, изложенный в § 12 или сейчас, трудно сказать. По крайней мере, сейчас мы работали с маленькими числами.
Главное, вы убедились, что формула одна, но ею можно манипулировать и придумывать новые методы вычислений.