Слово арифметика исчезло из школьного обихода. С первого класса появилась математика. Создается впечатление, что что-то простое удалено из программы, а появилось нечто сложное, что не всем дано. Конечно, арифметика никуда не исчезла, просто перестали употреблять это слово. Да и как бы это могло произойти, если арифметика – мощный и надежный инструмент для повседневного использования, позволяющий нам управляться с жизнью более уверенно и точно.
В первую очередь арифметика ассоциируется с умением проводить вычисления, складывать, вычитать, умножать и делить. С появлением калькулятора кажется и в этом отпадает необходимость. Но представьте себе ситуацию, что вы способны умножать в уме большие числа, а главное быстрее калькулятора. А если при этом вы еще и можете мгновенно проверить результат вычислений, то о вас подумают, как об очень умном человеке. Думаю, все будут относится к вам с большим уважением. Но зная из школы только сложение и умножение в столбик, ваши действия будут выглядеть как фокусы. На самом деле никаких фокусов в этих вычислениях нет, просто вам немного не повезло – вам об этих методах или не рассказывали, или вы что-то пропустили.
Способы быстрого и устного вычисления просты, удивительно просты, и при определенных навыках опережают процесс нажимания кнопок. При небольшой тренировке вы начинаете чувствовать число, числа оживают, вычисления приводят к положительным эмоциям. А ведь главное заключается не в том, чтобы стать вычислителем и показывать «фокусы» на сцене, а в самом процессе. Особенно важно это школьникам, которым запрещено (и слава Богу) пользоваться калькулятором не экзаменах и на контрольных. А не умея быстро вычислять, возникает проблема: пять минут не понимание, как решить задачу, а потом полчаса мучений при вычислениях, например, корня из дискриминанта.
Еще вычисления могут быть полезны тем, кто страшится приближения Альцгеймера, прекрасная тренировка для ума.
Из школьного курса математики известен, пожалуй, один способ умножения и сложения – это метод вычисления в столбик. Он универсален, то есть можно перемножить любые числа, но в тоже время громоздкий и требует аккуратной записи. Помимо этого, существует еще много других методов. Некоторые из них называют итальянским, индийским, японским способами. В чем-то они удобны, в чем-то имеют недостатки.
Хотелось бы для примера остановиться на одном способе, который называют русский крестьянский или русский купеческий, хотя сомневаюсь, что он мог быть крестьянским (что мог считать крестьянин). А вот для купцов этот способ вполне мог быть удобным, так как они университетов не оканчивали, а для его использования требовалось знать только таблицу умножения на два. Идея способа элементарна. Если требуется a×b, то результат не изменится, если мы сделаем это так: а/2 х 2b. А теперь продолжаем эту процедуру:
и так далее, пока деление a не даст в ответе единицу. Тогда получим «b», помноженное на два столько же раз, на сколько мы делим a и это и будет ответом.
Пример:16 х 39
a 16 39 b
a/2 8 78 2b
a/4 4 156 4b
a/8 2 312 8b
a/16 1 624 16b
Ответ: 624
А как быть в случае, если a нечетное число?
a =17 b = 39
| Отбрасываем остаток 1 |
17 39
8 78 –
4 156 –
2 312 –
1 624
Теперь отбрасываем все строчки, которые начинаются на четное a, включая числа в столбике «b». На схеме они помечены чертой «-«. Оставшиеся числа в столбике «b» – 39 и 624 необходимо сложить
624 + 39 = 663
Ответ: 663
Рассмотрим более сложный пример. Требуется умножить 157 и 24. Конечно, необходимо считать, что a =24, тогда будет меньше действий. Итак
| 24 | 157 | – |
| 12 | 314 | – |
| 6 | 628 | – |
| 3 | 1256 | |
| 1 | 2512 |
2512 + 1256 = 3768
Ответ: 3768
Теперь понятно, что это универсальный способ, то есть можно перемножать любые числа. Но он более длинный, чем умножение в столбик, и это недостаток. К преимуществам следует отметить, что чтобы им пользоваться необходимо знать только таблицу умножения на два. Кстати, именно так перемножает числа компьютер, потому что этот метод тесно связан с двоичной системой счисления.
Еще один способ умножения, который связывает арифметические вычисления с геометрией. В самом произнесении числа вслух, например, 1234, мы говорим одна тысяча двести тридцать четыре и далее оперируем только цифрами 1,2,3 и 4, используя таблицу умножения. А можно поступить более наглядно – геометрически. Пусть требуется умножить 23 на 37. Составим таблицу
| 20 | 3 | |
| 30 | 20 × 30 = 600 | 3 × 30 = 90 |
| 7 | 20 × 7 = 140 | 3 × 7 = 21 |
740 111
740 + 111 = 851
Ответ: 851
Действия очевидны, мы ищем площадь прямоугольника 23 на 37 единиц. Очевидно, она равна площади четырех других прямоугольников, площади которых легче найти.
Более сложный пример. Требуется 371 умножить на 123. Составление таблицы не представляет труда.
| 300 | 70 | 1 | |
| 100 | 300 × 100 = 30000 | 70 × 100 = 7000 | 1 × 100 = 100 |
| 20 | 300 × 20 = 6000 | 70 × 20 = 1400 | 1 × 20 = 20 |
| 3 | 300 × 3 = 900 | 70 × 3 = 210 | 1 × 3 = 3 |
36900 8610 123
36900 + 8610 + 123 = 45633
Ответ: 45633
Суммирование чисел в столбиках не вызывает затруднений, также, как и окончательное суммирование.
Это тоже универсальный способ, может быть чуть длиннее умножения в столбик, но значительно проще в оформлении, и в этом способе трудно ошибиться – ничего не надо держать в уме и с математической точки зрения более понятный.
Особенностью обоих методов является то, что задача разбивается на ряд более простых. А геометрический способ отличается еще и своей наглядностью.
В дальнейшем будут изложены методы устного счета. Под устным счетом подразумевается, что не используется бумага. Такой метод работает, когда задачу можно свести к нескольким более простым. Причем более простых должно быть как можно меньше, например, две или три, тогда можно меньше информации держать в уме.