Умножение – это по сути ускоренный способ многократного сложения. В случае произведения 27 × 38 мы могли бы взять 27 раз по 38, то есть, сложив 27 раз 38 или 38 раз 27, что согласитесь, не практично. Умножение позволяет сделать это быстрее, но сама процедура сложнее, чем сложение. Для того, чтобы овладеть приемами устного и быстрого умножения необходимо хорошо научиться умножать в уме однозначные числа на дву – и трехзначные, к чему мы сейчас и приступим. Пусть требуется умножить 52 на 7. Используем свойство дистрибутивности умножения
62 × 7 = (60 + 2) × 7 = 60 х 7 + 2 х 7 = 420 + 14 = 434
или, если кому-то не нравится слово дистрибутивность, то можно воспользоваться формулой для площади прямоугольника
| 60 | 2 | |
| 7 | 420 | 14 |
420 + 14 = 434
А так как площадь прямоугольника 62 на 7 равна сумме площадей двух меньших прямоугольников, то 62 × 7 = 434. Приведем еще один пример без объяснений в виду очевидности действий:
82 × 3 = (80 + 2) × 3 = 3 × 80 + 3 × 2 = 240 + 6 = 246
Если вторая цифра числа больше 5 или особенно 8 или 9, то можно умножать этим же способом
89 × 8 = 80 × 8 + 9 × 8 = 640 + 72 = 712,
но все же лучше 89 округлить до 90 и воспользоваться вычитанием
89 × 8 = (90 – 1) × 8 = 90 × 8 – 8 = 712.
Надеюсь, что к данному моменту вы научились прибавлять и вычитать без проблем – бегло.
Теперь, понимая, как умножаются двузначные числа на однозначные, переход к умножению трехзначных или даже четырехзначных чисел на однозначное не покажется более сложным.
Например
426 × 4 = (400 + 20 + 6) × 4 = 400 × 4 + 20 × 4 + 6 × 4 = 1600 + 80 + 24 = 1704
При вычислении в уме ничего подобного делать нет необходимости. Просто сразу в уме 4 умножается на 4, получается 1600, далее 2 на 4, получается 80 и это легко и моментально складывается с 1600, ну, и осталось прибавить шестью четыре. Поэтому в уме это делается гораздо быстрее, чем это записывать на бумаге.
Быстрота вычислений при умножении трехзначных чисел на однозначные в первую очередь зависит, как быстро вы научились умножать двузначные на однозначные, так как две последние цифры трехзначного числа и есть двузначное. Остается процедура сложения этого результата с числом, у которого пара нулей. В данном случае это было 1600. Еще, более облегчает задачу возможность округления в большую или меньшую стороны.
Пример:
389 × 7 = (400 – 11) × 7 = 2800 – 77 = 2723,
При вычитании 2800 – 77 нужно понимать, что мы вычитаем 77 из 100, а то, что там какие-то 2800 не играет роли, мы об этом забываем, одолжив сотню. Еще проще умножать, когда требуется округление в меньшую сторону.
311 × 8 = (300 + 11) × 8 = 2400 + 88 = 2488
Первое действие для каждого вычисления легко выполнить. Сложность возникает при необходимости удерживать в памяти предварительный ответ, параллельно вычисляя итоговый. Поэтому, когда вы принимаетесь за решение таких примеров, рекомендуется повторять ответы каждого действия вслух. При этом, произнося результат одиночного действия вслух, вы создаете себе паузу для следующего вычисления. Ну а дальше – дело практики. Со временем, когда у вас начнет получаться делать такие вычисления, возникает эмоциональная реакция: у меня это получается.
Особняком стоит умножение двух- и трехзначных чисел на 5. В предыдущих примерах мы могли числа округлять в меньшую или большую сторону для облегчения вычислений. В случае пятерки округление становится непонятным – в какую сторону, да и в конце концов ничего не дает. Это говорит о том, что это исключение. Удивительно то, что этот особый случай еще проще тот, что было.
Для начала рассмотрим умножение четного двух-трехзначного числа на 5. Основная идея состоит в том, что произведение не изменится, если то число, которое умножаем на пять, уменьшить в два раза, а пять увеличить вдвое. Тогда уменьшенное число необходимо буде умножить на 10. А умножение на 10 трудно даже назвать операцией. Это просто мечта для двоечника.
Рассмотрим примеры:
24 × 5 = 24/2 × 2 × 5 = 12 × 10 = 120
248 × 5 = 248/2 × 2 × 5 = 124 × 10 = 1240
6482 × 5 = 6482/2 × 2 × 5 = 3241 × 10 = 32410
Согласитесь, что умножение 6482 на 5 в столбик несложно, но требует каких-то действий. Предложенным же способом это производится моментально, достаточно знать таблицу умножения на 2.
Рассмотрим теперь случаи, когда число содержит нечетные цифры.
25 × 5 = (124 + 1) × 5 = 120 + 5 = 125
249 × 5 = (248 + 1) × 5 = 1240 + 5 = 1245
Таким образом, стоит только нечетную цифру представить в виде четная плюс 1, как к предыдущему результату достаточно прибавить пять. Это нисколько не усложняет задачу.
Осталось рассмотреть ситуацию, когда нечетных цифр больше одной.
Дальше приведены примеры по мере усложнения, и они вряд ли требуют подробных объяснений.
274 × 5 = 274/2 × 10 = (274+70+4)/2 × 10 = (100 + 35 + 2) × 10 = 137 × 10 = 1370
756 × 5 =(700+50+6)/2 × 10 = (350 + 25 + 3) × 10 = 378 × 10 = 3780
579 × 5 = (578 + 1) × 5 = (500+70+8)/2 × 10 + 5 = 2890 + 5 = 2895